Elemental, mi querido Euclides, elemental

Todos los matemáticos hemos tenido en la carrera una asignatura de álgebra basada en la geometría euclidiana. De hecho, en mi caso, fue una de las dos asignaturas que tuve de matemáticas el primer año, compartiendo el tiempo con la asignatura de cálculo/análisis.

En realidad, aunque Euclides es un matemático ampliamente conocido, sobre todo por la recopilación de definiciones y teoremas en los trece libros que conforman sus Elementos, el álgebra tiene mucho más que ver con las aportaciones que proporcionaron los árabes tras el estudio de esa obra que con la obra en sí.

Los Elementos de Euclides llegaron al mundo islámico por medio de varias traducciones realizadas entre los siglos VIII y IV. Las principales características de las traducciones árabes de los tratados de ciencia es que no se conformaban por la simple traducción de una lengua a otra palabra por palabra, sino que los árabes que las realizaron querían comprender las ideas que había en cada una las obras y ellos mismos realizaban anotaciones o mejoraban el texto para que fuera mucho más comprensible para el resto de la población.

La particularidad de los textos de Euclides es que es una recopilación de diversos conceptos matemáticos. El tema principal es la geometría, pero también versa sobre teoría de números. Un resumen de la cantidad de definiciones y proposiciones puede encontrarse en la siguiente tabla:

Libro	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	Total
Definiciones	23	2	11	7	18	4	22	-	-	16	28	-	-	131
Proposiciones	48	14	37	16	25	33	39	27	36	115	39	18	18	465

< Entre los principales temas de los trece libros podemos señalar:

- Libro 1: los 5 postulados fundamentales de la geometría, el teorema de Pitágoras, las igualdades de ángulos y áreas, el paralelismo y la construcción de varias figuras geométricas.

- Libro 2: igualdades de rectángulos y cuadrados y la noción del número áureo.

- Libros 3 y 4: propiedades de los círculos, el Teorema de Tales, el circuncentro, el incentro y la construcción de polígonos regulares.

- Libros 5 y 6: proporciones de diversas magnitudes y su aplicación al plano.

- Libro 7: propiedades de la teoría de números como la divisibilidad, los números primos y el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

- Libros 8 y 9: secuencias geométricas de enteros, la infinitud de los números primos y la construcción de números perfectos.

- Libro 10: prueba de la irracionalidad de las raíces cuadradas y la fórmula para las tripletas pitagóricas (números que cumplen el teorema de Pitágoras).

- Libro 11: perpendicularidad, paralelismo, volúmenes y similaridad en figuras solidas.

- Libro 12: volúmenes de cónicas, pirámides y cilindros con un método precursor de la integración. Se demuestra que el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su radio.

- Libro 13: construcción de los cinco sólidos platónicos dentro de una esfera y comparación de la longitud de sus aristas con el radio de la esfera que los contiene.

En definitiva, muchos y diversos conceptos matemáticos en un compendio con un cariz casi enciclopédico. Es imposible sorprenderse sabiendo que, si se tradujo tal obra magna en el mundo islámico, los conocimientos de matemáticas prosperarán y se constituyera el precursor de lo que ahora denominamos álgebra.

Con tantas definiciones y proposiciones (131 de lo primero y 465 de lo segundo), los científicos árabes tenían temas sobre los que discutir en su Casa de la Sabiduría o sus madrazas. Tampoco nos cuesta imaginar que la traducción de los Elementos fuera una de las principales formas de trasmitir los conceptos de geometría griega en el mundo islámico.

Euclides escribió una obra de divulgación matemática extensa, en la que intentó plasmar todo el conocimiento griego que existía hasta el momento sobre la geometría y los números. Los árabes debieron discutir los distintos teoremas y proposiciones que estaban allí y seguramente dieron una aplicación práctica a muchos de ellos. Además, tras entenderlos, tuvieron que crear un sistema matemático de reglas comunes para poder plasmar todos estos problemas y poder resolverlos de la misma manera para los cálculos de su día a día. Es lo que en nuestros días podríamos llamar álgebra, la resolución de distintas ecuaciones que pueden venir de muchos problemas diversos siguiendo una serie de pasos comunes hasta encontrar la solución. La mejora llegó cuando esos problemas pudieron plasmarse al papel por medio de una serie de símbolos comunes para representar los números y las operaciones como una evolución de la aritmética babilónica.

Además, y aunque sabemos que los árabes no se dedicaron a escribir conocimiento nuevo semejante al que se produjo en lo que se denomina la revolución científica en Europa, si se dedicaron a transmitir los conocimientos griegos, mejorarlos y darles un uso en el día a día. Más que escribir desde el principio, los científicos árabes traducían las obras griegas y añadían a esos textos los resultados de las investigaciones que habían realizado.

No se llega a entender, por ejemplo, la construcción de la Alhambra en Granada, la Mezquita de Córdoba o los Reales Alcázares de Sevilla sin un dominio de los cálculos y de la geometría por las particularidades que tienen esos tres edificios. Quizás no revolucionaron la matemática como hizo siglos después Descartes con la geometría analítica, pero está ampliamente demostrado que usaron los conocimientos dados por los Elementos de Euclides para la realización de muchas de sus actividades.

Podemos decir, además, que los Elementos no fue la única obra matemática griega que se introdujo en el mundo árabe. Muchos otros matemáticos fueron traducidos en la misma época. La mayoría de ellos son también conocidos en nuestros días: Arquímedes, Ptolomeo, Apolonio… y, por consiguiente, también responsables del gran conocimiento matemático que llegaron a cultivar y desarrollar los árabes durante los muchos siglos de historia que duró el islam.

Goethe y sus ideas sobre ciencia

Johann Wolfgang von Goethe fue un personaje ilustre, mucho más conocido por sus obras en literatura como poeta o escritor que por sus controvertidos tratados científicos como naturalista. Sus principales obras científicas se corresponden con la constatación de que todos los vertebrados, incluido el hombre, tienen hueso intermaxilar, distintos trabajos sobre la morfología de las plantas y el estudio de los minerales (de la que tenía una gran colección superior a los 9000 ejemplares) y, como trabajo más comprometido, diversos estudios realizados sobre la teoría del color.

Goethe fue un gran defensor de la experimentación y de la recopilación de pruebas entre la idea (o hipótesis) de una teoría científica y su consiguiente resumen tras la demostración como un resultado general a partir de todos los hechos encontrados. Sus principales controversias con el mundo científico de la época venían de que él rechazaba el paso que se venía realizando entre la teoría y la conclusión sin suficientes pruebas fehacientes para poder pasar de una parte a otra.

Juntar estos ideales y poner como ejemplo principal de su rechazo la teoría de Newton de que la luz blanca se descomponía en el resto de los demás colores, le produjo muchas discusiones y dolores de cabeza cuando se enfrentó a los demás científicos (para los que Newton tenía mucho más de genio que de persona).

Goethe no rechazaba las ideas de Newton, lo que quería era hacer ver al resto de sus compañeros que no se podía probar con un simple experimento de un prisma que del color blanco se pasará a los otros siete colores (rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul y violeta). Para plasmar sus ideas, realizó numerosos experimentos con prismas, en donde un pequeño cambio en las condiciones iniciales (tamaño del prisma, grosor del haz de luz utilizado, orientación del prisma que recibe el haz de luz, distancia del prisma a la pared donde se proyectaba, etc.) daba resultados distintos, tanto de los colores que se proyectaban, como del grosor de estos en el plano de proyección.

Quizá Goethe no fuera un científico al uso para la época que le correspondía, pero para mí es indudable que dentro de los estándares actuales su método de experimentación para llegar a las conclusiones de sus hipótesis está dentro de lo que denominaríamos ciencia. Y, para mí, también es muy importante estudiar en la materia de la historia de la ciencia no solo a los personajes ilustres que ya conocemos todos, sino también a aquellos que en su época se salieron del camino y que no han sido tan conocidos en esa faceta como en otras. De hecho, conocemos a Goethe por sus trabajos de literatura y, por consiguiente, leer aunque sean sus trabajos científicos nos parece interesante ya no por la ciencia en sí, sino para hacernos una idea de cómo era esa persona que destacó como poeta en su tiempo.

Esta última reflexión me hace llegar a pensar que quizá nos estemos perdiendo una ingente cantidad de científicos que se salieron de lo que se hacía en su tiempo, no llegaron a destacar en ningún campo y han quedado olvidados con el paso de los siglos. Goethe es un ejemplo de uno de ellos que hemos podido recuperar debido a sus contribuciones en otros temas ajenos a la ciencia, pero, quién sabe, quizá haya muchos otros esperando a ser rescatados. O incluso sin la posibilidad de serlo porque no nos han quedado constancias científicas de sus avances con el pasar del tiempo, como mucha de la ciencia islámica o de la ciencia africana que se transmitía de forma oral.

Por un lado, me inquieta, pero por otro me anima a seguir estudiando la historia de la ciencia, siempre anhelante a los nuevos temas o a la nueva forma de ver unos personajes que ya conocía de un modo, pero con los que no había llegado a profundizar en muchos aspectos.

Le calendrier révolutionnaire

O, en otras palabras, el calendario revolucionario, que fue el calendario que se impuso en Francia tras la revolución francesa como una forma de desligarse de los elementos más característicos del antiguo régimen.

El calendario revolucionario fue confeccionado por los sabios (científicos) de la época y, como no podría ser de otro modo tras dedicárselo a uno de los matemáticos, su estructura sigue un patrón bastante simétrico: empieza en el equinoccio de otoño, tiene doce meses de treinta días, cada uno constituido por tres decenas de días, y acaba con los cinco días faltantes para sumar los 365. Estos últimos cinco días se consideran fiestas nacionales y están dedicados a la virtud, el talento, el trabajo, etc. El problema de los años bisiestos (y sus derivados cada cien y mil años) se resolvió con un día denominado franciada en el que se celebraba el día de la revolución.

Para intentar dar a conocer el calendario al público general y propiciar el uso y el cambio del calendario gregoriano, se le pidió a un poeta que eligiera nombres fáciles de recordar para cada uno de los meses de año. De esta forma, los nombres elegidos estaban relacionados con la climatología y se utilizaron distintas reglas nemotécnicas para distinguir los tres meses de cada una de las cuatro estaciones. Además, cada uno de los días del año fue dedicado a elementos del mundo natural (animales, plantas, minerales o herramientas).

Podemos ver en la siguiente imagen los distintos nombres que recibieron los doce meses en este calendario:

El calendario, tras la subida al poder de Napoleón Bonaparte, tuvo los días contados y se abolió con el inicio del año 1806. Las razones que explican la vuelta al calendario gregoriano son varias, algunas de las principales son:

- Con el nuevo cambio de régimen, el calendario revolucionario dejaba de tener sentido. Napoleón usó la vuelta al calendario usual como una forma de reconciliarse con la Iglesia que estaba en contra de éste y de legitimar su golpe de Estado en Francia.

- El calendario revolucionario era demasiado matemático y artificioso. El calendario gregoriano, aunque es cierto que ensalzaba la figura de los santos, tenía como raíces los calendarios egipcio y babilónico que consideraban los flujos lunares y de la tierra como su principal razón de ser. La inclusión de los últimos cinco días en el calendario revolucionario era un intento de los sabios franceses para que la conversión fuera completa, pero el ritmo que marcaban los meses de 30 días no se ajustaba correctamente con los ciclos astronómicos que se daban en la realidad.

-  Era un calendario que solo se usaba en Francia y que, por ese mismo motivo, separaba al país del resto de países circundantes. Es cierto que durante el período revolucionario hubo otros dos intentos de cambiar la forma de medir el tiempo y las longitudes además del cambio de calendario (los días de 10 horas, 100 minutos y 100 segundos y la convención del metro como sistema de longitud general). El primer caso fracasó de forma estrepitosa y el segundo sigue vigente en nuestros días. El calendario revolucionario fue una mezcla de ambos, fracaso al final, pero permaneció vigente durante casi 15 años y hubo un amago de volver a instaurarlo en 1871 tras la Comuna de París.

A mi modo de ver hay una razón más, aunque un poco más escondida. En todos los cambios que se realizan de este tipo, la población tiene mucho que ver y que decir. Unas veces los sistemas nuevos se aceptan y otras veces no. El sistema métrico decimal fue aceptado ampliamente por la población francesa porque ella misma veía la necesidad de un sistema que midiera las longitudes de la misma forma a lo largo de todo el país. Del mismo modo, y con un ejemplo más cercano a nuestros días, el cambio de la peseta al euro fue necesario debido al intercambio monetario que pretendía imponerse en todo el territorio de la Unión Europea.

Los cambios también pueden aceptarse aunque no los pida específicamente la población, pero en este caso deben ser conversiones mucho más simples. El cambio de la medición del tiempo a un sistema decimal no fue aceptado precisamente por ello. Cambiar de una base hexadecimal a una decimal no es fácil y el proceso de intercambiar toda la cantidad de relojes que existía en aquella época se tornaba prácticamente imposible. El calendario, por otro lado, es un sistema a caballo entre ambos: era lógico y no se veía tan complicado como el cambio de reloj, pero no era un cambio que necesitará la población francesa en realidad.

Las causas de su desaparición probablemente también vinieron porque con solo 15 años, volver al calendario gregoriano fue muy fácil. El resto de países lo seguía utilizando y, por consiguiente, ese calendario no desapareció del todo en la población francesa. Si algún ciudadano viajaba a Alemania, a Italia o Inglaterra tendría que adaptarse a su calendario. Por lo tanto, la conversión entre ambos sistemas seguramente se realizara casi todos los días.

No es así, por ejemplo, con el cambio de la peseta al euro, del que han pasado ya 21 años. En este caso, el cambio fue total y no se ha seguido utilizando la conversión en pesetas de forma asidua. Prácticamente solo las personas que durante muchos años compraron bienes con esa moneda recuerdan la estructura de su funcionamiento. Las nuevas generaciones desconocen como funciona el sistema de precios con la peseta y, por lo tanto, una vuelta a ese sistema en nuestros días se vería no como un cambio al antiguo sistema que todos seguían conociendo como en la población francesa, sino como un cambio a un sistema desconocido para muchos de sus ciudadanos.

Esto, para mí, también explica que la vuelta al calendario gregoriano en la Francia de 1806 se aceptara igual que se aceptó el cambio al calendario revolucionario. Los ciudadanos seguían conociendo el anterior sistema y veían muchos más puntos a favor en volver a usarlo que en seguir con el calendario que medía el paso de sus días en ese momento.